数学小噺 ~虚数

どうも。ブログを書くのが存外楽しくてアレでございますね。

今回は, タイトルにもある通り虚数について書いていこうかと思います。

そもそも虚数とは

虚数とはそもそも何なのかといいますと, 2乗すると負の値をとる数のことです。虚数単位を使えば


と表すことができます。

虚数は現実世界には存在し得ない数値です。なぜそう言切れるかといいますと, 逆に現実世界に存在しうる数を実数(2とか5/4とか0.0314とか)といいますが,


この2式から分かる通り, 2乗して譜の値をとる実数が存在し得ないからです*1。
じゃあこの虚数という概念, 何故生まれたかって, 恐らく当時の数学者たちは"あると(便利そうだから/楽しそうだから)"と答えると思います。言うなれば, 彼奴らのエゴによって生まれた楽しい概念です。

複素数と複素平面(ガウス平面)

複素数

実数と虚数を+(-)で繋いであげると複素数というものになります*2。例えばこんな感じ:

で, こいつを平面状に表したものが所謂ガウス平面なのですが, 突拍子もなく発生した表記ではありません。スゴイカラクリがあるのです。

天才ガウスの考え

数直線, 皆さんも小学生の頃やりましたよね。それを思い浮かべてください。
今, 数直線は0からうがーっと正の実数方向に伸びています。
これを負の数まで拡張してあげたいのですが, ガウス先生がどう考えたかといいますと, "-1をかける"という操作を"0を原点とした円に沿って点を1/2だけ回転させる"としたのです。
こうしてあげると, 0の左側に0からの距離が同じ点ができましたね。これで負の数まで拡張できました。

さて, ここから更に虚数まで拡張してみます。ここで虚数単位の定義を再確認すると, "2乗する(=2回かける)と-1になる数"でしたね。

...そうです。先程と同じように"0を原点とした円に沿って点を1/4だけ回転させる"とこの定義を満たす点がプロットできますね。
この操作を色んな実数にしてあげると, 0の点のところに, 最初の数直線に対してスケールが同じで90°傾いた数直線ができますね。ここで, 最初の数直線を実数軸・新しい数直線を虚数軸としたとき, ガウス平面として複素数を平面状に表せるようになったわけです。

ここが嬉しいガウス平面

複素数の絶対値

ガウス平面によって平面上に複素数を表せるようになりました。そうすると何ができるようになるかといいますと, 複素数の絶対値を考えることができます。複素数を考えたときに, , , との交点と原点を結んだ直線を考えましょう。よく見ると, 見えてきませんか? アレ。

直角三角形がありますね。そうすると原点から伸ばした直線の長さlは, ピタゴラスの定理(三平方ともいう)で次のように求まります。
*3
ここで, と解が変わらない式があります。



この3つですね。それぞれを複素数表示するとこうなります。



この内, 実部(つまり実数の部分)が同じものどうしを共役複素数といいます。
つまり, とは共役複素数ってワケですね。

ガウス平面と三角関数

ガウス平面は円を使ってできました。つまり, 複素数に三角関数を適用できるのです。
実数軸を横軸, 虚数軸を縦軸にとってあげると,


とできちゃうワケですね。

この考え方, 現在私が専攻している電気にも多大なる影響を与えていて, 電流や電圧の進み具合をフェーザという形でガウス平面上に表せたりしている, スバラシイ考え方なのです。

えっ, これで終わるつもりなんですか

長々と虚数やガウス平面の面白さについて語らせてもらいました。虚数は, 数学を面白くする概念の1つとして非常に興味深いですね。

今後もこういう数学小噺をしていこうかなーなんて思っています。

...図はまた今度追加しておきますね。

参考文献

・新基礎数学(著:高遠節夫 他5名 大日本図書より)
・浜村渚の計算ノート 8さつめ 虚数じかけの夏みかん(著:青柳碧人 講談社より)

オマケ

なんでこんなブログタイトルなのか, ですか? それは...なんででしょうかね。たぶん私の戯言なんて実数軸に置いておくまでもないんでしょう。

*1:ここで1に如何なる実数をかけても, 符号は変わらないですよね

*2:"複素数"と聞くと, 1と自分でしか割切れない"素数"がイメージ的に先行するかもしれませんが, "「複」数の要「素」を持つ「数」"なので複素数と呼ばれます。たぶん

*3:|で囲ってあげると, 中身の絶対値という意味になります

とある調査への協力

本記事の目的

本記事は, 今回行っている研究の中間発表のための記事である。以上。

ことの始め

今年の2月ごろだったか, 学友の山田さん(Twitter:
https://twitter.com/keione1901)から"とある研究をするので, 人手が欲しい"と聞いた。何度か一緒にポケモンをしたり, 何かと彼とは親交があるので, お役に立てれば, ということで参加する運びとなった。

今回彼が研究したいというテーマは"発達障害と恋愛"。所謂発達障害者の持つ特性が恋愛にどう影響するかを把握し, 何らかの改善を行うアイデアを出す, というものらしい。
...こう何か役に立てれば, と気張ったはいいものの, 今更もの凄く迷惑なのだが, 正直私はあまり恋愛に興味がない。少なからず人間として欲情はあるのだろうが, 別にそれを他人に析出しようとは思わない。とはいえ, 人間の思考についてはそれなりに興味はあるし, 自分も発達障害の気はある。*1 何より一度引受けた案件を投げるのは癪であるので, 今日まで研究に参加させて頂いている。

調査方法

山田さんと私を含めた4人で, 以下を行った

1. 発達障害者の恋愛の失敗談(3名)及び発達障害でない人の恋愛経験(2名)についてインタビューを行った。
2. インターネット上でも同じような事例について調査し, 1.と合わせて事例をKJ法*2に基づいて発達障害者の特性や事例の持つ問題などによってグルーピングした。
3. 2.でまとめた事例を恋愛の進行状況(図1を参照。出典:

http://healthliteracy.jp/shimin/post_17.html)毎に分け, 問題を整理した。

1. 3.を基に, 問題を解決するためのアイデアを出す(現在進行中)。

(図1)

*3

結果と仮説

ここで面白いデータが出た(笑うところである)のだが, 2.において, 発達障害の中でもADHDの方が持つ性質とASDの方が持つ性質とで問題が(完全ではないが)二分されていた。これが示すこととしては, ADHD及びASDがそれぞれ抱える問題は異なっており, これらの人々が必要なアプローチは少しずつ異なるのではないか, という仮説ではないだろうか。
また, 3.では問題の多くが図1における関心期, つまり仲良くなる過程において発生しているであろうということが分かった。如何に段階を踏めるかが重要なのだろうか。

終わりに ~今後の展望

今回, このような中間発表をするにあたり, この問題について今一度考察し直す期間が生まれた。企画してくれた山田さんに感謝を申し上げたい。
仲良くなる過程に問題があるならば, "発達障害者と恋愛"というテーマは"発達障害者のコミュニケーション"にすり替わってしまうかもしれない, という趣旨の発言が会議の中であった。しかし, それはそれで良いかもしれないと私は思う。"愛はコミュニケーションの極限"...というのは私がΔt秒で考えついた戯言だが, なんにせよ, コミュニケーションに問題を抱えず, 穏やかに生きられるのは良いことだ。
今後出るであろう解決策は, "発達障害と恋愛", 或いはそこに根付く根本の問題に, どのようなアプローチをするのか, 比較的楽しみである。

*1:例えば, 物をよく失くす。部屋に置いていた財布が翌日どこにも見当たらないなどザラだ

*2:問題解決に用いる手法。昨年度の実験実習で学んだが詳細は忘れてしまった。少々乱暴だがググってほしい

*3:因みに, 今回の資料作成にあたってオンラインホワイトボードツールであるMiro(https://miro.com/app/dashboard/)を使用したのだが, "Miro(ミロ)を見ろ"という言回しは山田さんお気に入りのようだ。閑話休題

ご挨拶

はじめに

どうも。それなりの事情により, この度はてなブログを書き始めることになりました。取敢えず, sTaguと名乗っております。

自己紹介のようなもの

職業:学生(高専生)
専攻:電気電子工学
興味のあること(1):数学, 物理学, 化学, 音楽(吹奏楽やジャズを好みます)
興味のあること(2):ポケモン(ゲーム及びカード), ぷよぷよ, デレマス

最後に

本ブログでは, 趣味のことについてのんびり書き連ねていこうかと考えております。将来的には研究分野の何かについても書けたらいいな, などと野望も抱きつつ(まだ研究分野は定まっていないが)。何はともあれ何はともあれ宜しくお願いします。