数学小噺 ~虚数 - sTaguの虚数軸上

どうも。ブログを書くのが存外楽しくてアレでございますね。

今回は, タイトルにもある通り虚数について書いていこうかと思います。

そもそも虚数とは

虚数とはそもそも何なのかといいますと, 2乗すると負の値をとる数のことです。虚数単位 $i$ を使えば
$i^2 = -1$
$i = √(-1)$
と表すことができます。

虚数は現実世界には存在し得ない数値です。なぜそう言切れるかといいますと, 逆に現実世界に存在しうる数を実数(2とか5/4とか0.0314とか)といいますが,
$1^2 = 1$
$(-1)^2 = 1$
この2式から分かる通り, 2乗して譜の値をとる実数が存在し得ないからです*1。
じゃあこの虚数という概念, 何故生まれたかって, 恐らく当時の数学者たちは"あると(便利そうだから/楽しそうだから)"と答えると思います。言うなれば, 彼奴らのエゴによって生まれた楽しい概念です。

複素数と複素平面(ガウス平面)

複素数

実数と虚数を+(-)で繋いであげると複素数というものになります*2。例えばこんな感じ:
$1 + i$
で, こいつを平面状に表したものが所謂ガウス平面なのですが, 突拍子もなく発生した表記ではありません。スゴイカラクリがあるのです。

天才ガウスの考え

数直線, 皆さんも小学生の頃やりましたよね。それを思い浮かべてください。
今, 数直線は0からうがーっと正の実数方向に伸びています。
これを負の数まで拡張してあげたいのですが, ガウス先生がどう考えたかといいますと, "-1をかける"という操作を"0を原点とした円に沿って点を1/2だけ回転させる"としたのです。
こうしてあげると, 0の左側に0からの距離が同じ点ができましたね。これで負の数まで拡張できました。

さて, ここから更に虚数まで拡張してみます。ここで虚数単位 $i$ の定義を再確認すると, "2乗する(=2回かける)と-1になる数"でしたね。

...そうです。先程と同じように"0を原点とした円に沿って点を1/4だけ回転させる"とこの定義を満たす点がプロットできますね。
この操作を色んな実数にしてあげると, 0の点のところに, 最初の数直線に対してスケールが同じで90°傾いた数直線ができますね。ここで, 最初の数直線を実数軸・新しい数直線を虚数軸としたとき, ガウス平面として複素数を平面状に表せるようになったわけです。

ここが嬉しいガウス平面

複素数の絶対値

ガウス平面によって平面上に複素数を表せるようになりました。そうすると何ができるようになるかといいますと, 複素数の絶対値を考えることができます。複素数 $a+bi$ を考えたときに, $R = a$ , $i = b$ , $R = a$ と $i = b$ の交点と原点を結んだ直線を考えましょう。よく見ると, 見えてきませんか? アレ。

直角三角形がありますね。そうすると原点から伸ばした直線の長さlは, ピタゴラスの定理(三平方ともいう)で次のように求まります。
$|l| = √(a^2 + b^2)$ *3
ここで, $l = √(a^2 + b^2)$ と解が変わらない式があります。
$|l'| = √(a^2 - b^2)$
$|l''| = √(-a^2 + b^2)$
$|l'''| = √(-a^2 - b^2)$
この3つですね。それぞれを複素数表示するとこうなります。
$a - bi$
$-a - bi$
$-a - bi$
この内, 実部(つまり実数の部分)が同じものどうしを共役複素数といいます。
つまり, $a+bi$ と $a - bi$ は共役複素数ってワケですね。